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如何判断函数奇偶

时间:2024-11-06 13:39:46   

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1.怎么判断函数的奇偶性


  判定奇偶性四法:
(1)定义法
用定义来判断函数奇偶性,是主要方法 . 首先求出函数的定义域,观察验证是否关于原点对称. 其次化简函数式,然后计算f(-x),最后根据f(-x)与f(x)之间的关系,确定f(x)的奇偶性.
(2)用必要条件.
具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要条件.
例如,函数y=的定义域(-∞,1)∪(1,+∞),定义域关于原点不对称,所以这个函数不具有奇偶性.
(3)用对称性.
若f(x)的图象关于原点对称,则 f(x)是奇函数.
若f(x)的图象关于y轴对称,则 f(x)是偶函数.
(4)用函数运算.
如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数,那么在D上,f(x)+g(x)是奇函数,f(x)?g(x)是偶函数. 简单地,“奇+奇=奇,奇×奇=偶”.
类似地,“偶±偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇”.

扩展资料:
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性。
即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上是减函数(增函数)。但由单调性不能倒导其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。
说明:
①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性。
(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与

 比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数 

 在x=0处有意义,则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
⑤如果函数定义域不是关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如 



 ]或[ 

 ](定义域不关于原点对称)
⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数,则叫做既奇又偶函数。例如 

注:任意常函数(定义域关于原点对称)均为偶函数,只有 

 是既奇又偶函数
偶函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数。
奇函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)称为奇函数。
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点(x,y)→(-x,-y)
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
性质:
1、大部分偶函数没有反函数(因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数)。
2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇(可能为既奇又偶函数) 偶±偶=偶(可能为既奇又偶函数) 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇(两函数定义域要关于原点对称).
4、对于F(x)=f[g(x)]:
若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数,则F[x]是偶函数。
若g(x) 是偶函数且f(x)是奇函数,则F[x]是偶函数。
若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数,则F[x]是奇函数。
若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数,则F[x]是偶函数。
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。
参考资料:百度百科-函数奇偶性

2.怎么判断函数奇偶性?


  函数的奇偶性的判断应从两方面来进行,一是看函数的定义域是否关于原点对称(这是判断奇偶性的必要性)二是看与的关系
   1、函数的定义域是否是关于原点对称
(1)如果不是关于原点对称,那么这个函数就没有奇偶性;
例如(-1,2),【-10,10)等等这都不是关于原点对称的 
(2)如果是关于原点对称,然后接着向下看:
然后就需要通过表达式来判断特征了
奇函数的特征:f(x)+f(-x)=0或者f(-x)=-f(x);
偶函数的特征:f(x)-f(-x)=0或者f(-x)=f(x);
往往很多函数并不是一眼就能得到上面的特征,那么怎样才能得到上述的表达式
一般判断奇偶性可以用如下的方法:

举个例子可以看看这三种方法的运用:

上述三种方法中,每种都是围绕的各自的特征形式,最后证明出结果
还有一类函数比较特殊,既满足是奇函数也满足是偶函数,可以看看这一类函数如何证明其奇偶性    
例1:已知是定义在R上的函数f(x)=0,试判断的奇偶性
证明:定义域为R
f(x)+f(-x)=0,这是奇函数;
f(x)-f(-x)=0,这是偶函数
那么说明f(x)=0既是奇函数也是偶函数
那么是不是说明只要f(x)是一个常数,那么就满足既是奇函数也是偶函数呢?
例2:探讨定义在R上的函数f(x)=C的奇偶性
首先定义域R,
f(x)-f(-x)=C-C=0,这是偶函数;
f(x)+f(-x)=2C
当C=0,这就是奇函数;
当C≠0,这就不是奇函数
那么说明了     
确实存在既是奇函数又是偶函数的函数,这种函数的值恒为零。
        
因此,函数可分为四类:
1、奇函数(非偶函数)
2、偶函数(非奇函数)    
3、既是奇函数又是偶函数(既奇又偶函数)     
4、既不是奇函数又不是偶函数(非奇非偶函数)
     
另外,我们还可以利用函数的图象来判断函数的奇偶性。   
偶函数  其图象关于y轴对称    
奇函数  其图象关于原点对称     
从上面两个等价命题可以得出:奇函数在原点两侧的单调性相同(即同增同减);偶函数在原点两侧的单调性相反(即左增右减或左减右增)
所以掌握如何证明函数的奇偶性,那么相应的函数的其他特性(单调性,周期性。有界性性)等等,就变的简单多了

以上就是关于「如何判断函数奇偶」的全部内容,本文讲解到这里啦,希望对大家有所帮助。如果你还想了解更多这方面的信息,记得收藏关注本站~

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