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1.微分方程的特解怎么求

　　二次非齐次微分方程的一般解法
　　一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
　　第一步：求特征根
　　令ar2+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)2=-β2）
　　第二步：通解
　　1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
　　2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
　　3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
　　第三步：特解
　　f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x2+2x，则设Q（x）为ax2+bx+c，abc都是待定系数)
　　1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
　　2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
　　3、若λ是二重根 k=2 y*=x2*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
　　f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
　　1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
　　2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
　　第四步：解特解系数
　　把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1，C2是任意常数。
　　(h3)拓展资料：
　　微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。
　　高数常用微分表
　　
　　唯一性
　　存在定一微分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

2.如何判断一个微分方程是线性，还是非线性微分方程？！

　　以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y'+R(x)y=S(x) （其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）
无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。
例如y'y=y2，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y'-y)=0，即y=0或者y'-y=0，因为y和y'都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。
再如(sinx)y'-y=0，因为y'和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y'的系数是sinx，因此是变系数常微分方程。
再如y'y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y'和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。
再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

3.微分方程，怎么设特解

　　如果右边为多项式，则特解就设为次数一样的多项式；
　　如果右边为多项项乘以e^（ax)的形式，那就要看这个a是不是特征根：
　　如果a不是特征根，那就将特解设为同次多项式乘以e^(ax)；
　　如果a是一阶特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以一个x；
　　如果a是n重特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以x^n。
　　f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
　　则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x+2x，则设Q（x）为ax+bx+c，abc都是待定系数)
　　1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
　　2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
　　3、若λ是二重根 k=2 y*=x*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
　　f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
　　1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
　　2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
　　扩展资料：
　　求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
　　后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。
　　这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。
　　参考资料来源：

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