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如何证明线面平行
- 时间:2024-11-06 00:08:50
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1.怎样证明线与面平行有什么方法
线A与面S平行,需要注意两点,1-线不在面上,2-线与面无交点。
证明思路有多种,如下:
1-证明面上有一条线B与A平行,此时线A与面S平行。
原理:构造平面AB,两平面相交,相交于直线B,若证明A、B平行,且A上至少有一点不在面S上,则A平行于S。
2-证明面S的法向量SN与线A的方向向量垂直AD。
原理:如果SN与AD垂直,则说明面上一定有直线与A平行,此时只要证明A不在S上即可,同A。
3-证明A所在的一个平面,与S平面平行。
原理:两个平面平行,则面上的所有直线,均与另外一个平面平行。
4-证明通过A的两个平面,与S平面相交,有两条直线B,C,证明B,C平行。
原理:可以使用反证法,假设B、C不平行,那么必然与A相交,那么线A、B、C构成一个平面,则与通过A的两个平面的假设不成立,因此B、C平行,且均平行于A。工证明思路1.
5-证明直线A到面S上,各点距离相等。
原理:只要证明直线上两个点,到面S上的距离相等即可。两个点构成的直线A以及两个点在平面上的垂点构成的直线A‘平行,后续证明方法同1。
应该还有很多思路,最关键是注意利用已知条件,以及严格记清楚线面平行的定义和性质。证明的时候,各个分步骤方法多样。比如思路5,证明距离相等的办法有体积法,三角函数法,全等三角形法,圆的性质,等等。
2.怎么通过线面平行证明线线平行
【直线与平面平行的判定】定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
【判断直线与平面平行的方法】
(1)利用定义:证明直线与平面无公共点。
(2)利用判定定理:从直线与直线平行得到直线与平面平行。
(3)利用面面平行的性质:两个平面平行,则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行。
(h2)扩展资料
线面平行的判断:
(1)利用定义:证明直线与平面无公共点;
(2)利用判定定理:从直线与直线平行得到直线与平面平行;
(3)利用面面平行的性质:两个平面平行,则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注:线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
判定定理:
(1)平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
(2)平面外一条直线与此平面的垂线垂直,则这条直线与此平面平行。
参考资料来源:
3.线线平行如何判定面面平行
线线平行→线面平行 :如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行 :如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。
线面平行→面面平行 :如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直 :如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行 :如果连条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直 :如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
扩展资料:
如果两个平面的垂线平行,那么这两个平面平行。(可理解为法向量平行的平面平行)
证明:由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直,运用定理1可知面面平行。
定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础,如果两个平面的法向量平行或相等,那么这两个平面平行。
两个平面平行,和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。(判定定理1的逆定理)
已知:α∥β,l⊥α。求证:l⊥β
证明:先证明l与β有交点。若l∥β
∵l⊥α
∴α⊥β(面面垂直的判定),与α∥β矛盾,因此l与β一定有交点。
设l∩α=A,l∩β=B
在α内,过A任意作一条直线a,那么a∩l=A
因此a与l确定一个平面。明显,由于l与β是相交的,因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。
设与β的交线为b,由定理2可知a∥b
∵l⊥α,aα
∴l⊥a
∴l⊥b
再经过A在α内任意作与a不重合的直线c,过l和c的平面与β相交于d,则同理可证l⊥d
明显b和d是相交的,这是因为假设b∥d,由于a∥b,c∥d,可推出a∥c,但a和c都是经过点A作出来的,这样就产生了矛盾
∵l与β内相交直线b、d都垂直
∴l⊥β
经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。
已知:P是平面α外一点
求证:过P有且只有一个平面β∥α
证明:
先证明存在性。在α内任意作两条相交直线a、b,过P分别作a∥a,b‘∥b,则a’和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α
再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行,则过P作l⊥α,根据性质定理3,l⊥β1且l⊥β2。
再根据判定定理1,β1∥β2,这就和β1和β2同时经过点P矛盾。
两个以上的情况证明类似,所以过P有且只有一个平面β∥α。
参考资料:
4.线面平行的判定方法有哪些?
1、如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线就与该平面平行。这是判定定理;
2、如果一条直线与一个平面没有公共点,那么这条直线与这个平面平行。这个方法也叫作定义法。
3、如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另外一个平面相平行;
4、如果平面外一条直线与平行于该平面的直线平行,那么这条直线就与这个平面平行;
5、如果平面外一条直线与这个平面的垂线相垂直,那么这条直线就平行于这个平面。
扩展资料:
定理1
一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
已知:a∥α,a∈β,α∩β=b。求证:a∥b
证明:假设a与b不平行,设它们的交点为P,即P在直线a,b上。
∵b∈α,∴a∩α=P
与a∥α矛盾
∴a∥b
此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。
注意:直线与平面平行,不代表与这个平面所有的直线都平行,但直线与平面垂直,那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。
定理2
一条直线与一个平面平行,则该直线垂直于此平面的垂线。
已知:a∥α,b⊥α。求证:a⊥b
证明:由于α的垂线有无数条,因此可将b平移至与a相交,设平移的直线为c,a∩c=M,c与α的垂足为N。
∵两条相交直线确定一个平面
∴设a和c构成的平面为β,且α∩β=l
∵N∈c,N∈α,cβ
∴N∈l,且由定理1可知a∥l
∵c⊥α,lα
∴c⊥l
∴a⊥c
由于平移不改变直线的方向,因此a⊥b
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