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1.怎么求三角形的面积

　　海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。 
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 
而公式里的s： 
s=\frac{a+b+c}{2} 
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 
[编辑]证明 
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为 
\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} 
从而有 
\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab} 
因此三角形的面积S为 
S = \frac{1}{2}ab \sin(C) 
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} 
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 
最后的等号部分可用因式分解予以导出。 
[编辑]外部连结 
香港科技大学数学系:数学数据库:阿基米德的数学成就和研究方法

2.三角形的面积公式

　　设△abc的三边为a，b，c，由解直角三角形易得三边上的高ha，hb，hc，根据面积公式，可以推导出另一面积公式. 由此公式，可以直接计算已知两边及夹角的三角形面积，并解决一些与面积相关的问题. 
　　 
　　一、应用面积公式，推导正弦定理
　　 
　　例1设△abc的三边为a，b，c，求证：.
　　 
　　证明：由三角形面积公式，得到，
　　 
　　即.
　　 
　　上式同时除以abc，得到.
　　 
　　所以，.
　　 
　　点评：三角形面积公式由直角三角形的边角关系表示出各边上的高之后再推导出来，再运用它推导正弦定理，实质就是教材中正弦定理推导过程的简化. 
　　 
　　二、活用代数变形，推导海伦公式
　　 
　　例2 △abc的三边为a，b，c，设，求证：.
　　 
　　证明：== 
　　 
　　  = 
　　 
　　  = 
　　 
　　  = 
　　 
　　  = 
　　 
　　  = 
　　 
　　  = .
　　 
　　点评：此例的结论，就是海伦公式，可以由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积. 海伦公式据说是由古希腊数学家阿基米德解决的，但最早出现于古希腊数学家海伦（heron）的著作《测地术》中，公式的形式漂亮，且便于记忆. 我国大数学家秦九韶在也发现与海伦公式本质上相同的“三斜求积”公式，并记载于他写的《数书九章》中. 如果由三角形面积和，得，，根据，整理后也可得到海伦公式.
　　 
　　三、结合面积公式，研究三角问题
　　 
　　例3 在△abc中，角a、b、c所对的边分别是a、b、c.
　　 
　　（1）若a=4，b=5，s=5，求c的长度；
　　 
　　（2）若三角形的面积s=，求∠c的度数；
　　 
　　（3）若a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠a的大小及的值.
　　 
　　解：（1）∵s＝absinc，∴sinc＝，于是∠c＝60°或∠c＝120°.
　　 
　　又∵c2＝a2＋b2－2abcosc，
　　 
　　当∠c＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝；
　　 
　　当∠c＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝.
　　 
　　∴ c的长度为或.
　　 
　　（2）由s=，得absinc=. ∴ tanc=1，得c=.
　　 
　　（3）∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.
　　 
　　又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
　　 
　　在△abc中，由余弦定理得
　　 
　　cosa===，∴∠a=60°.
　　 
　　在△abc中，由面积公式得bcsina=acsinb.
　　 
　　∴ bcsina=b2sinb， 则=sina=.
　　 
　　点评：解三角形时，需认真分析题中已知条件中边与角之间的关系，根据条件合理选用正弦定理或余弦定理，结合三角形的面积公式来解决问题.
　　 
　　四、综合面积公式，探讨数学领域
　　 
　　例4 已知圆内接四边形abcd的边长ab=2，bc=6，cd=da=4. 求四边形abcd的面积.
　　  
　　解：如图，连结bd，则四边形面积
　　 
　　s＝s△abd＋s△cbd＝ab·adsina＋bc·cdsinc
　　 
　　∵ a＋c＝180°， ∴sina＝sinc，
　　 
　　∴ s＝（ab·ad＋bc·cd）·sina＝16sina.
　　 
　　在△abd中，由余弦定理得bd2＝22＋42－2·2·4cosa＝20－16cosa.
　　 
　　在△cdb中，bd2＝52－48cosc， ∴20－16cosa＝52－48cosc.
　　 
　　又cosc＝－cosa，∴cosa＝－， ∴a＝120°，得s＝16sina＝8.
　　 
　　点评：在印度婆罗摩笈多（约593-665后）的书中，出现了有圆内接四边形的求积公式（其中a,b,c,d为四边形的四条边，p为四边形的周长之半）. 当d=0时，这个公式即为海伦公式. 推广到任意四边形，则得到婆罗摩笈多公式.
　　 
　　三角形的面积公式有许多，例如已知三角形的三边a、b、c及外接圆、内切圆的半径为r，r，则有s△=abc/4r与. 
　　 
　　又如，在△abc中，若=()，= ()，则△abc的面积为s=. 此三角形面积的向量公式可如下证明.
　　 
　　证明： 
　　 
　　 
　　由上例公式，不必求三角形的边长和角度，只要知道任意两边所对应的向量即可，而其向量在已知三角形三个顶点的坐标时不难求得. 由此，我们知道三角形三个顶点的坐标，也可以得到如下面积公式.
　　 
　　， ，则
　　 
　　   
　　 
　　  ＝ .
　　 
　　以上我们探讨了各面积公式之间的相互联系，灵活运用三角形的面积公式，能帮助我们解决许多解三角形的问题.

3.三角形面积怎么计算

　　三角形面积公式
1、

（面积=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。
2、

（其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c。参见三角函数）
3、

(l为高所在边中位线）。
带入已知条件，用相应的公式就可以算出来了。

扩展资料
分类按角分
判定法一：
1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。
2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。
3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。
判定法二：
1、锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。
2、直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。
3、钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。
其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。
参考资料来源：搜狗百科-三角形

4.已知三角形的三边长如何求面积？

　　各类三角形求面积方式如下所示：
　　1.已知三角形底a，高h，则 S=ah/2
　　2.已知三角形三边a,b,c，则
　　（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
　　S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
　　=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
　　3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=1/2
　　absinC，即两夹边之积乘夹角的正弦值。
　　4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r
　　则三角形面积=(a+b+c)r/2
　　5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R
　　则三角形面积=abc/4R
　　6.行列式形式
　　为三阶行列式，此三角形
　　 
　　在平面直角坐标系内
　　 ，这里 
　　选取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小。
　　该公式的证明可以借助“两夹边之积乘夹角的正弦值”的面积公式 。
　　7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式:
　　S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
　　其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
　　8.根据三角函数求面积：
　　S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA
　　注:其中R为外切圆半径。
　　9.根据向量求面积：
　　其中，(x1,y1,z1)与(x2,y2,z2)分别为向量AB与AC在空间直角坐标系下的坐标表达，即：
　　向量临边构成三角形面积等于向量临边构成平行四边形面积的一半。
　　(h2)扩展资料
　　三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，符号为△。
　　常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
　　资料来源：

5.三角形面积是怎么算的

　　三角形的面积计算有如下几个计算公式：
　　1、已知三角形底a，高h，则 S=ah/2
　　2、已知三角形三边a,b,c，则
　　（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
　　S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
　　=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
　　3、已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=1/2absinC，即两夹边之积乘夹角的正弦值
　　4、设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2
　　5、设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R则三角形面积=abc/4R
　　扩展资料：
　　三角形的性质：
　　1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
　　2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
　　3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
　　4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
　　5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
　　6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
　　7、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
　　8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
　　9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

以上就是关于「三角形面积怎么求」的全部内容，本文讲解到这里啦，希望对大家有所帮助。如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站~

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